WisFaq!

Parabolen en raaklijnen

Ik moet voor een PO een aantal vragen maken. De meeste vragen zijn mij gelukt, maar uit deze opdracht kom ik niet.

Gegeven is een parabool met top T.
l is de raaklijn in T aan de parabool.
Van een punt P op de paarabool is Q het voetpunt op l.
De raaklijn in P snijdt l in R.
a) Bewijs TQ = 2 x TR
Je moet hier dus bewijzen dat punt R het midden is van TQ. Je kan dit niet met driehoeken o.i.d. doen dus ik heb geen flauw idee hoe je dit moet bewijzen.
b) Beschrijf met behulp van a een constructie van de raaklijn in een punt van de parabool zonder gebruik te maken van richtlijn en brandpunt.
Zou iemand mij hiermee kunnen helpen?
Bij voorbaat dank

Bertje
22-11-2016

Antwoord

Dag Bertje,
a. Je schrijft dat het niet met driehoeken kan. Maar dat is niet zo.
Kijk eens naar het onderstaande plaatje.
Daarin staan in ieder geval de punten P, Q en R. Maar ook de richtlijn r en het brandpunt F. En er zijn twee driehoeken gekleurd.
En van die twee driehoeken kan je toch wel bewijzen dat ze congruent zijn. Want er zijn zeker drie paar elementen van die driehoeken gelijk.
En daaruit blijkt dan dat TQ = QR.
b. En de constructie is dan niet moeilijk meer. Toch? Je hebt P, je hebt de topraaklijn en punt T. Dan kan je R vinden op l en dan ook Q. Zodat QP de gewenste raaklijn is.

Heel vaak moet je bij bewijzen van meetkundige eigenschappen van een parabool brandpunt en richtlijn daarvan gebruiken.

dk
22-11-2016