WisFaq!

Breuken splitsen

Hoi

Ik heb volgende stap in mijn boek staan. Het zou gedaan zijn door middel van breuken splitsen, maar ik kom er niet meer uit hoe ik het stelsel moet opstellen. Kan iemand mij hierbij helpen?

(2x²-4x+1)/((1-2x)·(1-4x)) = (1-3x)/(1-4x) + x/(1-2x)

Ik kom tot (a+b)+(-2a-4b)x = ?, maar daar stopt het.

Wat is het stelsel dat ik zal moeten oplossen?

Groetjes

Lau
13-10-2016

Antwoord

Hallo Lau,

Als we
$$\frac{2x^2-4x+1}{(1-2x)(1-4x)}$$
willen splitsen in
$$\frac{ax+b}{1-2x} + \frac{cx+d}{1-4x} = $$
$$\frac{(ax+b)(1-4x)}{(1-2x)(1-4x)} + \frac{(cx+d)(1-2x)}{(1-2x)(1-4x)} = $$
$$\frac{-4ax^2+(a-4b)x+b}{(1-2x)(1-4x)} + \frac{-2cx^2+(c-2d)x+d}{(1-2x)(1-4x)} = $$
$$\frac{(-4a-2c)x^2+(a-4b+c-2d)x+b+d}{(1-2x)(1-4x)} $$dan moet gelden

1. $-4a-2c=2$
   
2. $a-4b+c-2d=-4$
   
3. $b+d=1$
   

Zo zorg je ervoor dat de coëfficiënten bij $x^2$ en $x$ en het "losse getal" precies overeenstemmen met $2x^2-4x+1$.

Dat zijn drie vergelijkingen met vier onbekenden. Een onbekende meer dan er vergelijkingen zijn. Dat betekent dat je normaal gesproken één van die onbekenden vrij kan kiezen. Zo te zien heeft men hier gekozen voor $b=0$.

De derde vergelijking geeft dan $d=1$.

Daarmee houd je voor de eerste twee vergelijkingen over

1. $-4a-2c=2$
   
2. $a+c=-2$
   

De oplossing van dit stelsel is $a=1, c=-3$.

Dat levert precies de splitsing die je noemt (al heb ik de breuken net andersom staan).

Duidelijk zo?

FvL
13-10-2016