WisFaq!

Taylorveelterm

Mij wordt gevraagd om een orde van de Taylorveelterm te vinden voor sin x in het steunpunt 0 die ene fout oplevert van minder dan ¹/₂ˇ10^-10. Deze moet gelden voor alle x waardes tussen 0 en $\frac{\pi}{2}$. Ik moet aantonen dat voor mijn n1 alle benaderingen de gevraagde nauwkeurigheid hebben, zonder een rekenmachine te gebruiken. Ik mag wel gebruiken dat 2$<$pi$<$4.

Femke van Wijk
10-10-2016

Antwoord

Schrijf de restterm op (die heb je vast wel geleerd), en hoe daarbij in de gaten dat de Taylorpolynomen alleen oneven machten van $x$ bevatten.
Dus het polynoom
$$
\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}
$$heeft
$$
\frac{(-1)^{n+1}\cos\xi}{(2n+3)!}x^{2n+3}
$$als restterm (met $\xi$ tussen $0$ en $x$).
En nu moet je $n$ zó bepalen dat die uitdrukking voor alle $x$ tussen $0$ en $\frac12\pi$ kleiner dan $\frac1210^{-10}$ is. Je weet al dat $x$ dan kleiner is dan $2$ en dat $|\cos\xi|\le1$; daar kun je goed gebruik van maken.

Zie sinus en cosinus in Pythagoras [http://fa.its.tudelft.nl/~hart/37/stukjes-pythagoras/jg44/2004-09-sin_cos.pdf]

kphart
10-10-2016