WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op woensdag 12 augustus 2020

Oneigenlijke punten van een kegelsnede

Goede morgen ,
Een vraag...
a)Bepaal de oneigenlijke punten van een Kegelsnede met vergelijking :
3x2-2y2-z2+2xy-yz+3xz=0
b) Schrijf de homogemene vergelijkingen van de rechten door de oorsprong en de oneigenlijke punten die in a) gevonden worden.

Ik werkte met volgend stelsel
3x2-2y2-z2+2xy-yz=3xz=0, en
z=0
De resterende vergelijking is dan :
3x2+2xy-2y2=0 (1) en
z=0
we lossen (1) op:
2y2-2xy-3x2=0
Met de discriminant formule krijgen we dan:
y(1,2)= (x+x.sqrt7)/2 en (x-xsqrt7)/2
y1= x(1+sqrt7)/2 en y(2)=x(1-sqrt7)/2
De twee rechten die ik nu zou krijgen zijn 2y(1)-x-xsqrt7=0 en 2y(2)-x+xsqrt7=0.
Hoe bepaal ik nu de oneigenlijke punten en hoe los ik dan b) op??
Kies ik hier x(1)=0 dan is ook y(1)= 0 en kies ik x(1)=1 dan heb ik respectievelijk:
y(1)=(1-sqrt7)/2 en y(2)=(1-sqrt7)/2.
Is deze uitwerking correct en hoe moet ik nu verder.
Kan ik in b) met volgende punten verder voor het opstellen van de gevraagde homogene rechten :
(0,0,0)( de oorsprong zoals gevraagd) en
(1, ((1-sqrt7)/2),1) of
(0,0,0) en (1,(1+sqrt7)/2),1).(met z=1)
Klopt mijn redenering of gaat er iets mis met mijn rekenwerk ?
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Lemmens
29-8-2016

Antwoord

De oneigenlijke punten liggen op de `oneindig verre lijn' en hebben dus $z$-co÷rdinaat gelijk aan nul.
Bij a heb je in feite de asymptoten van de hyperbool gemaakt en daar liggen die oneigenlijke punten ook op. De homogene co÷rdinaten van je punten zijn dus $(2,1+\sqrt7,0)$ (ligt op de lijn met vergelijking $2y=(1+\sqrt7)x$) en $(2,1-\sqrt7,0)$ (op de lijn $2y=(1-\sqrt7)x$).
De asymptoten zijn dus ook de gevraagde verbindingslijnen en hun `gewone' vergelijkingen zijn ook hun homogene vergelijkingen.

kphart
30-8-2016


© 2001-2020 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#82768 - Analytische meetkunde - Iets anders