WisFaq!

Orthogonale matrix

2 eigenvectoren V1 en V2 blijken niet orthogonaal op elkaar te staan, daarom gaat men een nieuwe eigenvector V2* maken
(V2* = l1v1 + l2v2 zodat V2*^T * V1 = 0 )
Nu is mijn vraag waarom kiest men een V2* op deze manier?

Met zeer vriendelijke groeten

anoniem
7-5-2016

Antwoord

Ten eerste: er is kennelijk een matrix $A$ in het spel waar $v_1$ en $v_2$ eigenvectoren zijn en aan de vraag te zien bij dezelfde eigenwaarde, noem die even $\lambda$.
(Klopt dit? Zo ja: dat had je er even bij moeten vertellen; zo nee: dan is de vraag niet goed gesteld.)
In dat geval is elke lineaire combinatie $l_1v_1+l_2v_2$ ook een eigenvector bij die eigenwaarde $\lambda$ (reken maar na) en, wat belangrijk is, als $l_2\neq0$ dan spannen $\{v_1,v_2\}$ en $\{v_1,v_2^*\}$ dezelfde deelruimte op (en dat is waarschijnlijk gewenst). De laatste eis, $(v_2^*)^Tv_1=0$, zorgt er voor dat $v_2^*$ loodrecht staat op $v_1$.

NB Als $Av_1=\lambda_1v_1$ en $Av_2=\lambda_2v_2$ met $\lambda_1\neq\lambda_2$ dan is zo'n $v_2^*$ nooit een eigenvector, tenzij $l_1=0$ of $l_2=0$, maar dat wil je niet omdat $v_2$ kennelijk veranderd moet worden.

kphart
7-5-2016