WisFaq!

Bewijs

Hoi,
Rij a wordt gedefinieerd door anCOMB(n,2).Voor alle n1 geldt:a(n+1)=a(n)+n.Het is de bedoeling dat het laatste bewezen wordt.
Volgens mij kan de term COMB(n,2) geschreven worden als
n!/(k!).(n-k)!.Door n=3 in te vullen krijg je
3.2.1/((2.1).(3-2))=3.Vullen we nu n=4 in dan krijgen we
4.3.2.1/((2.1).(4-2))=6.
Volgens mij ben ik totaal op de verkeerde weg bezig.Ik heb al eens naar andere bewijzen gekeken maar ik kom er niet meer uit.
De tussen haakjes geplaatste termen zijn kleiner geschreven dan a en staan dus rechts naast a.
Graag had ik hulp bij deze opgave.

Monique
21-2-2003

Antwoord

Je formule voor Comb(n,k) is correct. Als je nu voor k het getal 2 kiest, dan wordt het Comb(n,2) = n!/[(2!).(n-2)!]
Gebruik nu dat n!/(n-2)! = (n-1).n, zodat je nu hebt gevonden dat Comb(n,2) = ¹/₂.n.(n-1)
(het getal ¹/₂ is afkomstig van de noemer 2! = 2)

Nu moet je laten zien dat a(n+1) = a(n) + n ofwel dat geldt dat ¹/₂.(n+1).n = ¹/₂.n.(n-1) + n (links staat hetgeen je krijgt wanneer je in de formule voor a(n) die we zojuist gevonden hadden de n vervangt door (n+1) en rechts staat de formule voor a(n) waarbij je n moest optellen)

Als je links en rechts de haakjes wegwerkt, zie je dat er inderdaad twee keer hetzelfde staat.

MBL
21-2-2003