WisFaq!

Inverse Laplace

Hoe bereken je de inverse laplace van s¸(s²+4)³ ? Ik weet de oplossing van deze oefening, maar begrijp niet goed hoe je er aan komt, de oplossing is: t¸4(1¸16 sin 2t + t¸8 cos 2t)
Ik begrijp niet waarom je nog maal t8 moet doen bij cos 2t¸

Andries
23-3-2016

Antwoord

Je kunt zo'n inverse op verschillende manieren bepalen en als je netjes werkt komen die getallen vanzelf te voorschijn.
1. Convolutie: schrijf je functie als
$$
\frac s{s^2+4}\cdot\frac1{s^2+4}\cdot\frac1{s^2+4}
$$
dan moet je het convolutieproduct
$$
\cos2t*\frac12\sin2t*\frac12\sin2t
$$
hebben (zorgvuldig werken).
2. Afgeleide plus convolutie: merk op
$$
\frac s{(s^2+4)^3}=-\frac14\left(\frac1{(s^2+4)^2}\right)'
$$
bepaal de inverse transformatie $f(t)$ van $\frac1{(s^2+4)^2}$; dan is het antwoord gelijk aan $\frac14tf(t)$; en $f(t)$ is de convolutie van $\frac12\sin2t$ met zichzelf:
$$
f(t)=\frac14\sin2t*\sin2t = \frac14\int_0^t\sin2\tau\cdot\sin2(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau
$$
Overigens: wat heb je zelf geprobeerd? Waarom snap je die $t/8$ niet?

Zie Wiki: Laplace-transformatie [https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Properties_and_theorems]

kphart
24-3-2016