WisFaq!

De afgeleide

Hallo

Ik probeer de afgeleide van de functie f:y=x⁴ te berekenen door het toepassen van de definitie lim x$\to$ a bekom ik de volgende zaken:
· x⁴-a⁴ / x - a
= (x²-a²)(x²+a²) / x - a
= (x-a)(x+a)(x²+a²) / x - a $\to$ wegdelen (x-a) met de noemer
= (x+a)(x²+a²)

Nu is de uitkomst 4x³

Ik kan dit wel bereken door gewoon de afgeleide van x⁴ te berekenen maar ik zou het graag eens zien volgens de definitie hoe ik aan de 4x³ kom?

Alvast bedankt

• De afgeleide

MVG
14-2-2016

Antwoord

Volgens mij gebruik je de definitie voor de afgeleide in het punt $a$. Dat geeft dat $f(a)=4a^3$.

Meer in 't algemeen zou ik het zo doen:

$
\eqalign{
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}
{h} \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\left( {x + h} \right)^4 - x^4 }}
{h} \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{x^4 + 4hx^3 + 6h^2 x^2 + 4h^3 x + h^4 - x^4 }}
{h} \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{4hx^3 + 6h^2 x^2 + 4h^3 x + h^4 }}
{h} \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 4x^3 + 6hx^2 + 4h^2 x + h^3 \cr
& f'(x) = 4x^3 \cr}
$

Helpt dat?

WvR
14-2-2016