WisFaq!

geprint op dinsdag 25 juni 2019

Limieten in symbolen

Hallo
In mijn cursus staan er heel wat definities m.b.t. limieten van rijen in symbolentaal. Een oefening zegt het volgende:
Geef een voorbeeld van een rij (xn)nϵN in R die voldoet aan
voor alle $\epsilon>$ 0, bestaat een n0 ϵ N, voor alle n ϵ N: n $\leq$ n0 $\Rightarrow$ |xn+5| $<$ $\epsilon$
Er bestaat een n0 ϵ N, voor alle $\epsilon>$ 0, voor alle n ϵ N: n $\leq$ n0 $\Rightarrow$ |xn+5| $<$ $\epsilon$

Maar ik snap het verschil niet in notatie, waardoor ik dus ook niet een voorbeeld kan geven van zo'n rij...
Kan iemand me helpen?
Met vriendelijke groet
Julie

Julie
27-12-2015


Antwoord

Hallo

Ik begrijp sommige symbolen in je vraag niet, maar ik vermoed dat het gaat over een rij die nadert naar -5.

Bv.: xn = -5n/(n+1)

Voor n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... zijn de termen xn -2.5, -3.33, -3.75, -4, -4.17, -4.29, -4.37 ...
Voor grotere waarden van n naderen de termen xn steeds dichter naar -5.
We drukken dit uit door te zeggen dat voor grote waarden van n, de termen xn steeds korter liggen bij -5
Of:
Als we n groter nemen dan een bepaald groot getal n0, zal het verschil tussen xn en -5 zeer klein worden, namelijk kleiner dan een willekeurig (klein) getal $\epsilon$
Of:
Voor alle (zeer kleine) positieve waarden van $\epsilon$, bestaat er een (grote) waarde voor n0, zodanig dat als we n groter nemen dan n0, het verschil tussen xn en -5 kleiner is dan de zeer kleine waarde van $\epsilon$
Dus

'$\epsilon>$0:$n0$\in$N0:'n$\in$N0:n$>$n0 $\Rightarrow$|xn-(-5)|$<\epsilon$

Dus $\epsilon$ is willekeurig, maar zeer klein (vandaar), n0 hangt af van de gekozen $\epsilon$ (vandaar)

Wil je bv. hebben dat het verschil tussen xn en -5 kleiner is dan 0.5(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 9 (= n0), want x10=-4.545
Wil je hebben dat het verschil tussen xn en -5 kleiner is dan 0.3(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 15 (= n0), want x16=-4.706
Wil je hebben dat het verschil tussen xn en -5 kleiner is dan 0.1(=$\epsilon$), moet je n groter nemen dan 49 (= n0), want x50=-4.902
Maar hoe klein je $\epsilon$ ook neemt, je zult altijd een grote waarde voor n0 vinden, zodanig dat voor alle n$>$n0, zal gelden dat het verschil tussen xn en -5 kleiner is dan $\epsilon$

Ok?

LL
27-12-2015


© 2001-2019 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#77228 - Limieten - Student universiteit BelgiŽ