WisFaq!

geprint op woensdag 19 juni 2019

Bewijzen van een limiet van een bepaalde functie

Dit voorbeeld staat in mijn boek:
Beschouw de functie
f: $\mathbf{R}$2\{(0,0)} $\to$ $\mathbf{R}$: (x,y) $\to$ (x3+y3)/(x2+y2)
Merk op dat (0,0) een ophopingspunt is van $\mathbf{R}$2\{(0,0)}.
We tonen aan met behulp van de definitie dat
lim (x,y)$\to$(0,0) f(x,y) = 0 (∑)

Eerst stellen we vast dat voor alle (x,y) volgende afschatting geldt
|(x3+y3)/(x2+y2) | $\le$ |(x3)/(x2+y2)| + |(y3)/(x2+y2)| $\le$|x| + |y|
Beschouw nu een willekeurige rij (xk, yk) in $\mathbf{R}$2\{(0,0)}
die naar (0,0) convergeert. UIt vorige afschatting volgt dat |f(xk,yk)| $\le$ |xk| + |yk| voor alle k$\in\mathbf{N}$
Nu is het niet meer moeilijk om te kunnen besluiten dat (∑) geldt.
Mijn vraag hierbij:
Ik snap hoe je aan de afschatting komt (met de eerste driehoeksongelijkheid), maar niet waarom je die hier nodig hebt? Waarom kan je (∑) besluiten als je die afschatting hebt gevonden.
Bestaat er een stappenplan dat ik kan volgen als ik zoiets moet bewijzen? Want dat zou verhelderend werken.
Bedankt op voorhand.

Julie
6-12-2015


Antwoord

De afschatting is gebruikt om de absolute waarde van $f(x,y)$ te relateren aan de afstand van $(x,y)$ tot $(0,0)$. Je krijgt $(*)$ door te bewijzen dat $\lim_kf(x_k,y_k)=0$ voor elke rij $\langle(x_k,y_k)\rangle_k$ die naar $(0,0)$ convergeert:
Als $\epsilon$ positief is dan is er een $K$ zo dat $|x_k|$ en $|y_k|$ keliner zijn dan $\epsilon$, voor $k\ge K$; voor die $k$ geldt dan ook $|f(x,y)|$<$\epsilon$.
Er is geen echt `standaard' stappenplan maar de driehoeksongelijkheid en anderen kunnen helpen op weg naar het eind.

kphart
6-12-2015


© 2001-2019 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#77040 - Limieten - Student universiteit BelgiŽ