WisFaq!

Vectoren

Hallo,

Ik moet voor wiskunde volgend vraagstuk oplossen:
Je krijgt een viervlak ABCD gegeven, de punten M en N zijn de respectievelijke middens van 2 overstaande ribben in dit viervlak (maakt niet uit welke ribben zolang ze maar overstaand zijn).

Toon nu met behulp van vectoren aan dat het midden van MN het zwaartepunt is van dit viervlak.

Ik heb deze oefening al meerdere malen proberen oplossen maar loopt telkens vast wanneer ik de formules voor zwaartepunt van een viervlak en het midden van een lijnstuk invul en hier mijn vectoren probeer weg te werken.
Enig idee hoe ik verder kan of is er soms een betere manier om dit op te lossen?

Alvast bedankt!

Amber
12-10-2015

Antwoord

Ik ga even uit van M is het midden van AB en N is het midden van CD. Ik ga er ook van uit dat je bekend bent met dat voor het zwaartepunt Z geldt:

$\overrightarrow{OZ}=\frac 14(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).$

Vervolgens gebruiken we dat
$\overrightarrow{OM}=\frac 12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$

en

$\overrightarrow{ON}=\frac 12(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$.

Dan vinden we tenslotte dat voor het midden P van MN geldt dat

$\overrightarrow{OP}=\frac 12(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}) =$
$\frac 12(\frac 12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}) + \frac 12(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})) =$
$\frac 14(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$

Dus Z en P zijn hetzelfde punt.

Groeten,

FvL
12-10-2015