WisFaq!

Re: Re: Matrix formule

Beste

Ik heb voor matrix A³= a₁₁=0 a₁₂=8 a₂₁=0 a₂₂=8
Is de formule dan Aⁿ= 2^n-1 x A ? Ik ben er niet zeker van want mijn bewijs klopt dan niet...

M.v.g.

Rachel
7-10-2015

Antwoord

Beste Rachel,

Het zou nu moeten opvallen dat:
$$A = \left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 0 & 2 \end{array}\right)
= \left(\begin{array}{cc} 0 & 2^1 \\ 0 & 2^1 \end{array}\right)$$
$$A^2 = \left(\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 0 & 4 \end{array}\right)
= \left(\begin{array}{cc} 0 & 2^2 \\ 0 & 2^2 \end{array}\right)$$
$$A^3 = \left(\begin{array}{cc} 0 & 8 \\ 0 & 8 \end{array}\right)
= \left(\begin{array}{cc} 0 & 2^3 \\ 0 & 2^3 \end{array}\right)$$Op basis hiervan zou je kunnen vermoeden dat:
$$A^n = \left(\begin{array}{cc} 0 & 2^n \\ 0 & 2^n \end{array}\right)$$Dit kan je door inductie proberen aan te tonen. Het klopt duidelijk voor $n=1$. Veronderstel dat het klopt voor $n-1$, wat dan met $n$?
$$A^n = A.A^{n-1} =
\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 0 & 2 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc} 0 & 2^{n-1} \\ 0 & 2^{n-1} \end{array}\right)
= \ldots$$Kan je het afmaken?

mvg,
Tom

td
7-10-2015