WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op zaterdag 4 juli 2020

Symmetrieas exact weergeven bij oplossen van vergelijking

Als ik deze vergelijkingen moet oplossen:

2cos(x-1/3$\pi$)=√2

Dan bereken ik een exacte waarde en de periode. Dan schets ik de grafiek maar om de overige oplossingen te berekeningen moet ik gebruik maken van de symmetrie. Nu weet ik niet hoe ik die symmetrieas exact bepaal zodat ik daarvandaan de overige oplossingen binnen een gegeven interval kan berekenen.

G. Dimdiri
23-6-2015

Antwoord

Het oplossen van zo'n goniometrische vergelijking gaat zo:

$
\eqalign{
& 2\cos \left( {x - \frac{1}
{3}\pi } \right) = \sqrt 2 \cr
& \cos \left( {x - \frac{1}
{3}\pi } \right) = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \cr
& x - \frac{1}
{3}\pi = \frac{1}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \vee x - \frac{1}
{3}\pi = - \frac{1}
{4}\pi + k \cdot 2\pi \cr
& x = \frac{7}
{{12}}\pi + k \cdot 2\pi \vee x = \frac{1}
{{12}}\pi + k \cdot 2\pi \cr}
$

Als je van $
\cos \left( {x - \frac{1}
{3}\pi } \right) = \frac{1}
{2}\sqrt 2
$ naar de volgende stap gaat.

In 't algemeen geldt:

$
\cos \alpha = \frac{1}
{2}\sqrt 2 \Rightarrow \alpha = \frac{1}
{4}\pi
$

Maar dat is maar een klein deel van 't verhaal. Er zijn nog veel meer hoeken... allereerst de hoeken modulo $
2\pi
$. Daarom krijg je de toevoeging $
... + k \cdot 2\pi
$, maar ook de hoeken waarvoor $
\alpha = - \frac{1}
{4}\pi + k \cdot 2\pi
$.

Bij die laatste verzameling oplossing speelt de symmetrie van de cosinusfunctie een rol.

q75925img1.gif

Er zijn dus voor $\alpha$ twee verzamelingen met oneindig veel oplossingen. Vandaar misschien?

Zie Vergelijkingen met sinus en cosinus [http://www.hhofstede.nl/modules/goniovergelijkingen.htm]

WvR
23-6-2015


© 2001-2020 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#75925 - Goniometrie - Leerling bovenbouw havo-vwo