WisFaq!

Asymptoten

Beste

Binnenkort heb ik een test over de algemene kennis over wiskunde. (rekenmachine is niet toegestaan) Als voorbereiding maakte ik al enkele vragen, waaronder de volgende:

Gegeven: $f(x)$=$\large\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$

Gevraagd: wat zijn de asymptoten van deze functie?

De verticale asymptoten zijn gemakkelijk te vinden, namelijk $x=1$ en $x=-1$. Maar hoe de schuine asymptoot berekend wordt, begrijp ik niet. (waarschijnlijk ook a.d.h.v. een staartdeling, maar ik weet niet hoe)

Zou u me a.u.b. verder willen helpen?
Alvast bedankt!

Vriendelijke groeten.

Kaat
29-6-2014

Antwoord

Hallo

De staartdeling lukt hier niet omwille van de vierkantswortel in de noemer.

Voor deze eenvoudige functie kun je redeneren als volgt:
De functie nadert naar de schuine asymptoot als x$\to\infty$
Nu is lim van √(x²-1) = x voor x$\to$+$\infty$ en -x voor x$\to$-$\infty$

De limiet van de functie voor x$\to$+$\infty$ is dus gelijk aan ^x2+1/_x = x + ¹/_x = x
en voor x$\to$-$\infty$ gelijk aan ^x2+1/_-x = -x - ¹/_x = -x

De schuine asymptoot voor x$\to$+$\infty$ is gelijk aan y = x
en voor x$\to$-$\infty$ gelijk aan y = -x

Zie ook Scheve asymptoten

Hieronde vind je de algemene theorie voor het berekenen van de schuine asymptoot:

LL
29-6-2014