WisFaq!

Oefeningen complexe getallen

Beste wisfaq,

Ik heb uw hulp nodig. Deze donderdag heb ik een examen wiskunde maar ik snap niks van onderstaande oefeningen. Zou u me kunnen helpen:

1) Los op in C
1.1) (z-2i)⁴=1
1.2) 1+(cos(3x) +isin(5x))·(cos(5x)+isin(5x))

2)Bepaal a$\in$R zodat a_i een oplossing is van:
z⁴-2z³+7²-4z+10=0

3)Ontbind in factoren: z³-1

de antwoorden heb ik gekregen:
1.1)w₀= 1+2i ; w₁= 3i ;w₂= -1+2i ; w₃= i

1.2) x= $\pi$/8 +k·$\pi$/4 met k$\in$Z

2) a= /À√2

3) z³-1 = (z-1)·(z+1/2-³√/2)·(z+1/2+³√/2

Alvast bedankt!

Met vriendelijke groet

Philippe Goethals
9-6-2014

Antwoord

1.1)De eerste conclusies moeten zijn:
z-2i = 1 of z-2i = -1 of z-2i = i of z-2i = -i waarna de rest volgt.

1.2) Dit is helemaal geen vergelijking want er staat geen isgelijkteken in.
Kijk trouwens even na of er inderdaad cos(3x) staat en niet cos(5x).

2) Vul z = ai in en werk dat uit. Je krijgt volgens mij de vergelijking
a⁴+2ia³-7a²-4ai+10 = 0 ofwel a⁴ - 7a² + 10 + i(2a³ - 4a) = 0
Dan moeten a⁴ - 7a² + 10 = 0 Ù 2a³ - 4a = 0

3) De 'normale' ontbinding is (z-1)(z²+z+1) wat je snel kunt nagaan door dit uit te werken. Blijkbaar wil men dat je ook de tweede vorm tussen haakjes ontbindt. Daartoe moet je bedenken dat als z²+z+1 = 0 de oplossingen z = a en z = b heeft, de vorm uiteenvalt in (z - a)(z-b).
Bepaal dus de oplossingen van de vergelijking z² + z + 1 = 0 wat bijv. met de abc-formule zou kunnen.

MBL
9-6-2014