WisFaq!

Oneigenlijke integraal van de tweede soort

De integraal van -1 to 1 van de functie 1/x is gelijk aan + oneindig. Als je opsplitst van -1 tot b en van b tot 1 en als je dan met limiet van b nadert naar 0 werkt, maar de stukjes oppervlaktes onder en boven de x-as heffen elkaar toch gewoon op, dus is de uitkomst 0?

OPA
17-9-2013

Antwoord

Hallo Opa.

Ik denk dat je het volgende bedoelt:
$
\mathop {\lim }\limits_{b \to 0} \int\limits_{ - 1}^b {\frac{1}{x}} + \int\limits_b^1 {\frac{1}{x}} = 0
$

Dit is oplosbaar omdat de integraal bestaat. je kunt b zo klein kiezen als je wil bijvoorbeeld 0.00001 Echter zodra b=0 gaat het verhaaltje niet op. Want dan ga je echt rekenen met oneindig en dat mag niet zomaar.

Dus:

$
\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{1}{x}} + \int\limits_0^1 {\frac{1}{x}} = - \infty + \infty \ne 0
$

Let maar op als je met oneindig gaat rekenen alsof het een normaal getal is.

voorbeeld:
$
\begin{array}{l}
\infty - \infty = 0 \\
2\infty = \infty \Rightarrow \infty - \infty = 2\infty - \infty = \infty \\
\end{array}
$

Zo krijg je eigenlijk 2 beweringen.
oneindig-oneindig=0 maar ook oneindig-oneindig=oneindig want er geldt toch echt dat 2.oneindig=oneindig toch?

Kortom daar mag je niet zo mee rekenen en dus is
$
\int\limits_{ - 1}^1 {1/x}
$
niet gedefineerd. De functie is immers bij 0 niet continue.

mvg DvL

DvL
17-9-2013