WisFaq!

Van een sinusoide de nulpunten bepalen

De volgende opgave geeft nog al twijfels vanwege een ontwijkend antwoord met dat van het model kan iemand mij corrigeren?:

Gegeven is de functie f met f(x)=20cos(¦Ð4x)+10 op [0,16].
a.Bepaal het bereik van f.
b.Bereken alle nulpunten van de grafiek van deze functie.
c.Los op: f(x)¡Ü0.

a. Bf=[-10,30]
b.Nulpunten f(x)=0

20cos(¦Ð4x)+10=0
20cos4pix-10
cos4pix=-1/2
4pix=(2/3)+k 2pi of 4pix=(4/3)pi + k 2pi
x=1/6 +1/2 k of x=1/3 +1/2 k
nu weet ik niet of dit antwoord aan het domein van [0,16] voldoet ik weet niet de meetkundige betekenis van een 1/2 k hier tevens weet ik niet of dit antwoord ook echt goed is het model heeft n.l:
f(x)=0 geeft x=83+k⋅8¡Åx=-83+k⋅8.
De nulpunten zijn (223,0),(513,0),(1023,0) en (1313,0).???

bouddou
9-11-2012

Antwoord

Het bereik is in orde. De periode is 2p/4p = 1/2 en dat betekent dat je per half hokje ¨¦¨¦n complete golf te zien krijgt. Omdat je domein 16 hokjes breed is, krijg je dus zo'n 32 golven te zien.
Nu de nulpunten. Uit cos(4px) = -1/2 volgt 4px = 2/3p + 2kp of 4px = -2/3p + 2kp wat leidt tot x = 1/6 + k.1/2 of
x = -1/6 + k.1/2.
Voor k mag je nu een willekeurig geheel getal kiezen, maar om het aantal oplossingen (het zijn er oneindig vele) enigszins te beperken, moet je binnen je domein blijven. Neem je bijvoorbeeld k = 108, dan krijg je o.a. de oplossing x = 1/6 + 108.1/2 = 325/6 en dat is ruim boven de 16. Deze op zich juiste oplossing wordt nu dus verworpen.
Om kort te gaan, je neemt steeds een andere k en zolang je maar in het domein [0,16] uitkomt, heb je een oplossing die mag meetellen.
Omdat de periode zo klein is, worden het er toch nog wel erg veel.
Wat de antwoorden van de cursus aangaat: als je de opgave correct hebt overgenomen en niet bij de verkeerde antwoorden hebt gekeken, dan zijn ze wel erg fout.

MBL
9-11-2012