1) Dus het komt er gewoon op neer dat je een verzameling niet als een interval kan bekijken? :P
3) Kan je zo'n voorbeeld geven van een verzameling in Q die een boven- en/of ondergrens heeft maar geen supremum/infimum?Anon
2-10-2012
Beste Anon,
1) Nee: je kan niet elke verzameling zien (of 'schrijven') als een interval. Een (reëel) interval is een bijzonder type verzameling, namelijk een verzameling van 'aaneengesloten' reële getallen, dus van de vorm $a \le x \le b$ (grenzen eventueel strikt): dit stemt overeen met het interval $[a,b]$.
3) Bekijk bijvoorbeeld de verzameling van opeenvolgende benaderingen van $\pi$, decimale ontwikkelingen met telkens één decimaal meer:
$$\left\{ 3, \,3.1, \,3.14, \,3.141, \,3.1415, \,\ldots \right\}$$Alle elementen van deze verzameling zijn rationaal (want ze hebben een eindige decimale ontwikkeling) en bovendien is de verzameling naar boven begrensd. Mogelijke bovengrenzen zijn bijvoorbeeld 10, 4 of 3.2. Er is echter geen 'kleinste bovengrens'. Binnen de reële getallen zou dat $\pi$ zijn, maar $\pi$ is niet rationaal: binnen de rationale getallen is er voor deze verzameling geen 'kleinste bovengrens' (= supremum).
mvg,
Tom
td
3-10-2012
#68507 - Verzamelingen - Student universiteit België