WisFaq!

geprint op vrijdag 22 november 2019

Re: Re: Supremum en Infimum

1) Dus het komt er gewoon op neer dat je een verzameling niet als een interval kan bekijken? :P

3) Kan je zo'n voorbeeld geven van een verzameling in Q die een boven- en/of ondergrens heeft maar geen supremum/infimum?

Anon
2-10-2012


Antwoord

Beste Anon,

1) Nee: je kan niet elke verzameling zien (of 'schrijven') als een interval. Een (reŽel) interval is een bijzonder type verzameling, namelijk een verzameling van 'aaneengesloten' reŽle getallen, dus van de vorm $a \le x \le b$ (grenzen eventueel strikt): dit stemt overeen met het interval $[a,b]$.

3) Bekijk bijvoorbeeld de verzameling van opeenvolgende benaderingen van $\pi$, decimale ontwikkelingen met telkens ťťn decimaal meer:
$$\left\{ 3, \,3.1, \,3.14, \,3.141, \,3.1415, \,\ldots \right\}$$Alle elementen van deze verzameling zijn rationaal (want ze hebben een eindige decimale ontwikkeling) en bovendien is de verzameling naar boven begrensd. Mogelijke bovengrenzen zijn bijvoorbeeld 10, 4 of 3.2. Er is echter geen 'kleinste bovengrens'. Binnen de reŽle getallen zou dat $\pi$ zijn, maar $\pi$ is niet rationaal: binnen de rationale getallen is er voor deze verzameling geen 'kleinste bovengrens' (= supremum).

mvg,
Tom

td
3-10-2012


© 2001-2019 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#68507 - Verzamelingen - Student universiteit BelgiŽ