WisFaq!

Supremum en Infimum

Ik heb wat moeite met het begrijpen van boven- en ondergrens en supremum/infimum. Ik dacht dat ik het begreep maar dat bleek niet zo. Hoe ik redeneerde:

vb. gegeven verzameling: voor alle a element van A: a$\le$x
Als je dit zou bekijken als een interval krijg je ]-oneindig,x]. Omdat het laatste haakje gesloten is, is deze verzameling naar boven begrensd en heeft deze een bovengrens.
(analoog voor ondergrens)

Ander vb. geg. verzameling: A = {a element van | 0$<$a$\le$1}
Volgens mijn redenering geeft dit ]0;1] en zou dit dus naar boven begrensd zijn. Nu lees ik echter in mijn boek dat dit naar onder begrensd is. Waarom? Wat doe ik fout?

Vraag 2

Klopt dit?
Als een verzameling een infimum/supremum heeft dan heeft deze altijd een minimum/maximum? Maar deze bewering klopt niet omgekeerd, het is mogelijk dat het min/max niet bestaat maar het inf/sup wel.

Vraag 3

Wanneer bestaat er nu eigenlijk een inf/sup? Bestaan deze 2 altijd? Ik veronderstel als de verzameling naar onder begrensd is heeft deze een inf en naar boven heeft deze een sup. Als de verzameling zowel naar boven als naar onder begrensd is heeft deze zowel een inf als sup? Maar daarom moet ik eerst begrijpen wanneer een verzameling naar boven/onder begrensd is...

Alvast bedankt!

Anoniem
1-10-2012

Antwoord

Beste Anoniem,

Je eerste verzameling is niet duidelijk: wat is de verzameling A? Zijn a en x reëel, of misschien rationaal zoals verderop?

Voor $A = \left\{a \in \mathbb{Q} | 0 < a \leq 1\right\}$ lijkt het me duidelijk dat A zowel naar boven als naar onder begrensd is: 0 is immers een ondergrens en 1 is een bovengrens. Maar 0 behoort niet tot A en kan dus geen minimum zijn, terwijl 1 wel tot de verzameling behoort en dus een maximum is. Aangezien er geen grotere ondergrens dan 0 is, is 0 wel het infimum. Wanneer een verzameling een maximum heeft, zoals 1 hier, is dat automatisch ook het supremum (de kleinste bovengrens).
Let op: je kan deze verzameling A niet noteren als het interval ]0,1] want dat zou bestaan uit alle reële getallen tussen 0 en (met) 1, terwijl het hier enkel over rationale getallen gaat.

Vraag 2: je draait het in het begin om; als een verzameling een minimum resp. maximum heeft, dan zijn die elementen ook het infimum resp. supremum. Daarna heb je het goed: een verzameling kan een inf resp. sup hebben, zonder een min. resp max te hebben (zie vorig voorbeeld voor inf/min).

Vraag 3: dit is een fundamentele eigenschap van begrensde verzamelingen van reële getallen, meer bepaald: 'elke niet-lege verzameling van reële getallen die naar boven (resp. onder) begrensd is, heeft een supremum (resp. infimum).'

Om op je bijkomende vraag te antwoorden: kijk opnieuw naar de definitie! Een verzameling A van reële getallen is naar boven begrensd als er een (reëel) getal k bestaat zodat voor alle a in A geldt dat a$\leq$k. Analoog voor naar onder begrensd. Als je zo'n k hebt, is elk getal groter dan k natuurlijk óók een bovengrens. De kleinste van al die mogelijke bovengrenzen, noemen we het supremum (analoog infimum).

mvg,
Tom

td
2-10-2012