WisFaq!

Bewijs dat de raaklijnen vanuit de richtlijn loodrecht op elkaar staan

Gegeven is de parabool y²=2px. We nemen op de richtlijn een willekeurig punt D. Bewijs dat de raaklijnen vanuit D op de parabool loodrecht op elkaar staan.

Ik neem een punt voor D (-p/2,yd) en de raaklijn a: y=^p/_ya(x+xa) en de raaklijn b; y=^p/_yb(x+xb)

ik weet dat bij de raaklijnen die loodrecht op elkaar staan het product van de richtingscoëfficiënten gelijk is aan -1. Maar heb ik mijn coördinaten wel goed gekozen?

Glenn Bollue
10-8-2012

Antwoord

Glenn,
Zij D(-¹/₂p,q) op de richtlijn.Uit D trek je twee raaklijnen aan de ellips.
De lijn door de raakpunten, poollijn genoemd, heeft als vergelijking
yq=p(x-¹/₂p).Bepaal de snijpunten van deze lijn met de parabool. Dit geeft
(¹/₂p+q²/p+q/p√(p²+q²),q+√(p²+q²) en nog een ander punt.Nu kun je de richtingscoefficienten van de raaklijnen berekenen en nagaan of het product gelijk is aan -1.

kn
11-8-2012