WisFaq!

Bewijs

Als in een driehoek ABC geldt: cos3a + cos3b + cos3c = 1, dan is één van de hoeken van driehoek ACB 120°. Bewijs dit.

Ik heb de formules van Simpson geprobeerd, de som- en verschilformules, maar ik geraak er niet uit.

Marie Vanhoof
8-6-2011

Antwoord

Beste Marieke,
Een leuke vraag!
Je kan beginnen te controleren dat de vergelijking klopt als er één hoek van 120⁰ is, bijvoorbeeld hoek C.
Dat helpt je om te bedenken hoe je het probleem zou kunnen aanpakken.

Bijvoorbeeld:
c=180-(a+b), dus cos(3c)=cos(3·180-3(a+b))=-cos(3a+3b)=-2cos²(1,5a+1,5b)+1
En cos(3a)+cos(3b)=2cos(1,5a+1,5b)·cos(1,5a-1,5b).
Noem nu cos(1,5a+1,5b)=p en cos(1,5a-1,5b)=q.
Dan krijg je de vergelijking: 2pq-2p²=0.
Daarmee kan je aantonen dat a+b=60 graden.
Succes,
Lieke.

ldr
8-6-2011