WisFaq!

Complexe sinusfunctie

Een voorbeeld van een examenvraagje waar ik maar niet wijs uit raak:
Definieer de komplexe sinusfunctie en werk deze uit (m.a.w als sin(x+yj) = u(x,y)+v(x,y)j, bepaal dan u(x,y) en v(x,y))

Beuselinck Kobe
8-1-2003

Antwoord

we noemen je x+yj voor 't gemak even z

je kent misschien wel de gelijkheid:

e^ix=cosx+i.sinx met x reeel

Zo geldt ook:
e^iz=cosz+i.sinz

het gaat je om een uitdrukking voor sinz

truc:
e^-iz=cosz-i.sinz
combineer dit met
e^iz=cosz+i.sinz :
Þ sinz=(e^iz-e^-iz)/2i

nu vul je voor z in: x+iy. zo krijg je:

sin(x+iy)=(e^i(x+iy)-e^-i(x+iy))/2i
=(e^ix-y-e^-ix+y)/2i
=(e^-y(cosx+isinx)-e^y(cosx-isinx))/2i
=(cosx(e^-y-e^y)+isinx(e^-y+e^y))/2i
=(-cosx.sinhy+isinx.coshy)i
=sinx.coshy+icosx.sinhy

hieruit volgt dus je u(x,y) en v(x,y)

groeten,
martijn

mg
8-1-2003