WisFaq!

Het spectrum van een operator

Beste wisfaq,

T:H-H is de operator die wordt gegeven door

T(x1,x2,x3,...)=(x2-x1,x3-x2,x4-x3,...)

H is de Hilbertruimte l_2(C) van vectoren x=(x1,x2,...) met
xi in C (de complexe getallen). Ik weet dat k een eigenwaarde is van T d.e.s.d.a. |k+1|1, en T is begrensd.

Ik wil graag het spectrum bepalen van T maar ik weet niet precies hoe ik dit moet doen.

Er is een hint:
Bepaal eerst het spectrum van de operator R:H-H,
R(x1,x2,x3,...)=(0,x1,x2,x3,...). Toon aan dat het spectrum van R gelijk is aan s(R)={k in C: |k=1|}.

Ik zie dat ik de operator T kan schrijven als T=R-I, met I de identieke operator op H, dus uit Tx=kx volgt dat Rx-x=kx, dus Rx=(k+1)x.

De resolvente verzameling van T, r(T), bestaat uit alle reguliere punten van T; dus uit alle punten waarvoor de operator T-k*I inverteerbaar is. Als ik r(T) heb gevonden dan is s(T)=C\r(T).

Ik moet dus nagaan wanneer (T-kI)^(-1) begrensd is.

Ik begrijp niet hoe ik nu verder moet met al deze informatie.

Vriendelijke groeten,

Viky

Viky
1-12-2010

Antwoord

Ik denk dat je de verkeerde R hebt opgeschreven: met R(x₁,x₂,x₃,...)=(x₂,x₃,...) geldt wel T-R-I. Dat betekent dat k in sigma(T) desda k+1 in sigma(R).
Je hebt al gezien dat elke k met |k|1 een eigenwaarde van R is, dus het spectrum van R bevat in ieder geval alle k met |k|=1 (want het spectrum is gesloten); ik zou nu proberen aan te tonen dat R-kI inverteerbaar is als |k|1; dat kun je doen door middel van een meetkundige reeks.

kphart
9-12-2010