WisFaq!

Hyperbool probleem

In een terrein zijn luisterposten (microfoons) opgesteld op drie punten A, B en C. Punt A ligt 600m ten noorden van B, en C ligt 600m ten oosten van B.
Het geluid van een kanonschot wordt bij A en B gelijktijdig geregistreerd en bij C een seconde later. Neem aan dat de snelheid van het geluid bij de heersende temperatuur en vochtigheid 340m/s is.

Bepaal de plaats van het kanon ten opzichte van A zo nauwkeurig mogelijk.

Het heeft te maken met een hyperbool, maar ik kom er niet uit!

Koen Sieben
19-10-2010

Antwoord

Stel A(0,0), B(0,-600), C(600,-600).
Stel K(x,y), dit is de positie van het kanon.
In een seconde verplaatst het geluid zich over 340 meter, in elke richting.
Omdat men het kanon in A en B tegelijk hoort, ligt K even ver van A en B, dus ergens op de middelloodlijn y=-300.
Dus K(x,-300).
Omdat men het geluid in C een seconde later hoort, is de afstand van K tot C 340 meter groter dan die van K tot A.
In formule:
Ö((x-600)²+(-300+600)²) = 340 +Ö((x-0)²+(-300-0)²).
Na kwadrateren, wordt dit
(x-600)²+(-300+600)² = 340² + (x-0)²+(-300-0)² +680Ö((x-0)²+(-300-0)²).
Breng nu de eerste twee termen van het rechterlid naar links, vereenvoudig, en kwadrateer nogmaals.
Er komt een vierkantsvergelijking waarmee je x kunt uitrekenen, en daarmee de positie van K.
Controleer wel even of je bij het kwadrateren niet een valse waarde van x hebt ingevoerd.
PS: De verzameling der punten die 340 meter verder van C vandaan liggen dan van A liggen op een tak van een hyperbool met brandpunten A en C.
Het gezochte punt is het snijpunt van deze tak met de middelloodlijn van A en B.

hr
19-10-2010