WisFaq!

Limiet met cosinus

Ik zit met een moeilijke limiet met een cosinus er in.

lim x®3 ^{cos x - cos 3}/_x-3

Ik heb al de cosinus omgeschreven naar een sinus, maar ik kom dan maar niet steeds verder.
Het goede antwoord hoort -sin 3 te zijn.

Als iemand mij kan helpen, graag!

Ronny
19-5-2010

Antwoord

Hallo, Ronny.

Gewoon wat goniometrieregels gebruiken. Als volgt:

cos(x) = cos(3 + (x-3)) = cos(3)·cos(x-3) - sin(3)·sin(x-3) =
cos(3)·(1 - 2·sin²((x-3)/2)) - sin(3)·sin(x-3), dus

(cos(x) - cos(3))/(x-3) = (-2·cos(3)·sin²((x-3)/2) - sin(3)·sin(x-3))/(x-3) =
-cos(3)·sin((x-3)/2)·(sin((x-3)/2)/((x-3)/2) - sin(3)·(sin(x-3))/(x-3).

Als nu x®3, dan u=(x-3)/2®0 en v=x-3®0, dus de limiet is die van
-cos(3)·sin(u)·sin(u)/u - sin(3)·sin(v)/v
met u en v naderend naar 0.

Nu geldt, zoals u weet: sin(w)/w nadert naar 1 als w nadert naar 0.

Dus de gevraagde limiet wordt -cos(3)·0·1 - sin(3)·1 = -sin(3).

hr
19-5-2010