WisFaq!

Primitieven bepalen, booglengte, parameters, ellips

De titel is misschien wat onduidelijk, maar er zijn 2 hoofdvragen, met subvragen waar ik behoorlijk op vast loop:

1a. Gegeven is de functie f_p(x)=sin(px) van domein [0,2$\pi$] en p$>$0
Neem p=2 en bereken de lengte van de kromme die de grafiek van f₂ voorstelt.

Ik begrijp hieruit dat ik de booglengte moet bepalen van f₂(x)=sin(2x) op interval [0,2$\pi$]

booglente is $\int{}$ √(1+(f'(x))2)dx op interval [0,2$\pi$]
f'(x)=2cos(2x), en (f'(x))²=4cos²(2x)
maar nu: hoe moet ik de prmitieve bepalen van √(1+4cos²(2x)) ? Kan dit wel algebraisch, of zal ik met mijn rekenmachine met onder en bovensom moeten werken, want dan zou het wel lukken. Zou graag willen weten of dit ook zonder kan.

1b. Twee opeenvolgende snijpunten van f_p met de x-as zijn O(0,0) en A. V is het gebied begrensd door de grafiek van f en de lijn OA. V wordt gewenteld om de x-as. Het omwentelingslichaam dat zo ontstaat, heeft een inhoud van $\pi$. Bereken p.

Hoe moet ik hier achter het 2e nulpunt komen? sin(px)=0
px=0+k$\pi$

En dan?

Vervolgens zal ik denk ik moeten werken met inhoud=$\pi$·$\int{}$ (f(x))² dx op interval [O,A] en (f(x))²=sin²(px)
Hoe nu verder, want hier weet ik niet hoe ik verder algebraïsch moet, of zelfs niet met de GR.

2a. Een ellips is gegeven door de vergelijking 4x²+y²=16
Stel een formule op voor de bovensom en ondersom van de oppervlakte van deze ellips en bepaal deze oppervlakte in drie decimale nauwkeurig.

Er is nog een vervolgvraag, maar misschien dat ik die kan oplossen als ik uberhaupt weet hoe je hiermee te werk gaat. Ik heb nog nooit met zo'n uitdrukking gewerkt, of moet je y gewoon uitdrukken in x? Of met parameter functies op de GR?

Zou dit graag eerst zeker willen weten voordat ik hiermee verder aan de slag ga.

Hoop dat iemand mij op weg zou kunnen helpen, alvast bedankt!

Kian Hatef
7-5-2010

Antwoord

Kian,
vraag 1a:De primitieve van √(1+4cos²x) is niet te vinden,dus alleen numeriek.
vraag 1b: Het eerstvolgende snijpunt is A($\pi$/p,0).De integraal loopt van 0 naar $\pi$/p.Stel in sin²(px) t=px en gebruik de relatie sin²t=¹/₂(1-cos2t).
Vraag 2: Neem b.v. y(x)=2√(4-x²) voor 0$\leq$x$\leq$2.De oppervlakte van dit deel van de ellips is 2$\pi$.Deze oppervlakte kunnen we benaderen met onder- en bovensommem.Verdeel het interval [0,2] in n gelijke deelintervallen
[x(i-1),x(i)]met i=1,..,n.Dan is de ondersom van y(x)gelijk aan
$\sum$(x(i)-x(i-1))min y(x)op [x(i-1),x(i)],i=1,...,n.Voor de bovensom neem je het max y(x)op [x(i-1),x(i)].Hopelijk zo duidelijk.

kn
11-5-2010