WisFaq!

Re: Afgeleide van een functie in een punt

Maar als je bv. f(x)=x² hebt, dan
f'(1)=lim ^(x2-1)/_(x-1)=lim x+1

daarna vul je die "1" in en kom je dus als afgeleide 2 uit.
Ik heb geleerd dat ogenblikkelijke verandering gelijk is aan afgeleide van f in een punt (hier 1) vandaar misschien deze verwarring. Het is dus de afgeleide in het punt 1 dat ik moet bepalen.

Nu moet ik hetzelfde doen maar met xⁿ ipv x²
???

Niels
1-5-2010

Antwoord

Het gemakkelijkste is om eerst de afgeleide te bepalen als limiet van de verandering in y gedeeld door de verandering in x die naar 0 gaat, en vervolgens x=1 in te vullen. Jij vult eerst x=1 in, en rekent dan de limiet uit. Dat is feitelijk niet anders, maar minder inzichtelijk.

Uitgaand van de definitie

f'(x)=lim_h-0^f(x+h)-f(x)/_(x+h)-x
Vervolgens kunnen we jouw functie f(x)=x^n invullen, dus
f'(x)=lim_h-0^{(x+h)^n-x^n}/_(x+h)-x

Deze kunnen we nu vereenvoudigen, met bijvoorbeeld het binomium van Newton, waarbij ik als notatie voor n boven 2 (n 2) gebruik. Nu krijg je
f'(x)=lim_h-0^{x^n+nhx^(n-1)+(n 2)h2x^(n-2)-x^n}/_h
Oftewel:
f'(x)=lim_h-0nx^(n-1)+(n 2)hx^(n-2)=nx^(n-1)
Vervolgens kun je x=1 invullen, zodat je op de gezochte afgeleide uitkomt. Succes!

Bernhard
2-5-2010