WisFaq!

Raaklijnenpoollijnen

beste mensen van wisfaq. ik heb de volgende vraag waar ik niet uit kom.

de cirkel x² + Y² = r² snijdt de positieve y-as in A
P een willekeurig punt van de raaklijn aan de cirkel in A. uit P trekt men de tweede raaklijn die de cirkel raakt in B
a) bepaal de verzameling die de middelpunten van de omgeschreven cirkels van de driehoeken ABP vormen als P de raaklijn in A doorloopt.

ik kwam tot het volgende:
- Raakijn uit A moet zijn Y=R(straal) op deze lijn ligt ook p. middelpunt cirkel is immers o,0. A ligt dus op (0,r)

- de poollijn uit p = xp . x + yp .y = r² omdat yp = r geldt. poollijn uit p = xp . x + r.y = r² ( maar hier heb je denk ik niets aan)

- p ligt o de raaklijn uit B. dus p(x,r) ligt op:
xb.x + yb.y = r² dus geldt xb.xp +yb.r= r²

maar wat en hoe verder. bovenstaande gegevens kan ik afleiden, maar weet verder niet of ik er iets mee kan of hoe. aub uw hulp.

mvg john

john
19-3-2010

Antwoord

Het snijpunt van de cirkel met de positieve y-as is A(0,r).
De raaklijn in A aan de cirkel heeft vergelijking y = r.
Een willekeurig punt hierop is P(p,r), waarbij p variabel is.
De poollijn van P t.o.v. de cirkel heeft de vergelijking px + ry = r² en de rc. van deze lijn is dus -p/r
De middelloodlijn van deze poollijn heeft dan rc = r/p en dus is de vergelijking y = (r/p).x
Merk op dat deze middelloodlijn uiteraard door P en door O gaat.
De middelloodlijn van AP is de verticale lijn met vergelijking x = ¹/₂p.
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABP (B is het andere snijpunt van poollijn en cirkel) voldoet dus aan twee eisen:
x = ¹/₂p en y = (r/p)x.
Je moet nu 'loskomen' van de variabele p.
Omdat p = 2x volgens de eerste vergelijking is op grond van de tweede vergelijking y = r/(2x).x = ¹/₂r
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel ligt dus steeds op een hoogte die gelijk is aan de helft van de straal van de cirkel.

MBL
20-3-2010