WisFaq!

Gamma verdeling

hallo,

Ik zit met het volgende vraagstuk:

De familie van Gamma-verdelingen beschrijft een collectie van kans verdelingen op(0,∞)
en wordt gekarakteriseerd aan de hand van dichtheden pα,λ : R+ → R van de vorm,
pα,λ(x)= λα = (Γ(α))/(xα−1)* e−λx, (x ≥ 0),
waarbij α 0en λ 0.

Bereken de verwachting van X ∼ Γα,λ
Bereken de variantie van X ∼ Γα,λ
Schets de grafiek van pα,λ voor
i. α = 1
2 , λ =1,
ii. α =1, λ =1 (exponentiele verdeling),
iii. α =2, λ =1

Zou iemand mij kunnen helpen? Ik snap niet waarvoor de subscripten bij Γα,λ betekenen. Het zou mij een helpen bij mijn huiswerk.

Bij voorbaat dank,

Faith

Faith Amtro
14-3-2010

Antwoord

Faith,
Je zult eerst iets moeten weten over de gamma-functie.Voor x0 is
G(x)=òt^(x-1)exp(-t)dt,t van 0 naar ¥.Verder geldt dat
G(x+1)=xG(x) en G(n)=(n-1)! voor n geheel.Voor de dichtheid geldt dat p(x)=(1/G(a))l^a x^(a-1)exp(-lx,x0 en de parameters a en l positief.Nu is E(x)=òxp(x)dx,x van 0 naar ¥.Stel lx=t.
Dan vindt je dat E(x)=1/(lG(a))òt^aexp(-t)dt=
G(a+1)/lG(a)=a/l.Misschien is dit een eerste aanzet.

kn
16-3-2010