WisFaq!

Bereken en toon aan in een driehoek

Beste,

Volgende vraag krijg ik niet opgelost. Ik probeer dit te doen aan de hand van de sinusregel en cosinusregel maar raak er niet uit.

In de driehoek ABC:
a/4 = b/5 = c/6
met a = BC en b = AC en c = AB.

1. Toon aan dat hoek C = 2 keer hoek A
2. Bereken tan (hoek A/2)

Sam
7-1-2010

Antwoord

a.
Met de cosinuregel:

$
\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
4^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \times 5 \times 6 \times \cos \alpha \Rightarrow \cos \alpha = \frac{3}{4}\,\,en\,\,\sin \alpha = \frac{1}{4}\sqrt 7 \\
6^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \times 4 \times 5 \times \cos \gamma \Rightarrow \cos \gamma = \frac{1}{8}\,\,en\,\,\sin \gamma = \frac{3}{8}\sqrt 7 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow \\
\sin (2\alpha ) = 2\,\sin \alpha \cos \alpha = 2\, \times \frac{1}{4}\sqrt 7 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}\sqrt 7 = \sin \gamma \Rightarrow \gamma = 2\alpha \\
\end{array}
$

b.
$
\eqalign{\tan \left( {\frac{1}{2}\alpha } \right) = \frac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{4}\sqrt 7 }}{{1 + \frac{3}{4}}} = \frac{1}{7}\sqrt 7}
$

Zie eventueel Wikipedia | Lijst van goniometrische gelijkheden

WvR
9-1-2010