WisFaq!

Het grootste volume van een balk ingeschreven in een ellipsoïde

Beste,

Aan volgende opdracht geraak ik niet wijs uit:

Bepaal de afmetingen van een balk met het grootste volume, ingeschreven in de ellipsoïde ^x2/_a²+ ^y2/_b²+^z2/_c²=1 en met de zijvlakken evenwijdig met de coördinaatvlakken.

Aangezien deze opdracht te maken heeft met gebonden extreme waarden, zal waarschijnlijk de methode der multiplicatoren van Lagrange gebruikt moeten worden.

Als ik deze methode toepas bekom ik:
L(x,y,z,l)= x.y.z + l(^x2/_a²+^y2/_b²+^z2/_c²-1)

Dit vormt dan een stelsel van 4 vergelijkingen en 4 onbekenden, maar als ik daaruit de zijden (x,y & z) bepaal mbv mijn GRM, komen deze waarden niet overeen met de opgegeven oplossing voor deze opgave.
De oplossingen zouden:
^2a/_Ö3,^2b/_Ö3 en ^2c/_Ö3 moeten zijn, wat dan een volume van ^8abc/_3Ö3 geeft
Ik denk dat mijn fout komt, doordat ik de evenwijdigheid met de coördinaatvlakken niet als beperkingen heb vermeld.

Graag had ik wat hulp bij deze opgave, alvast bedankt.

Andy
21-12-2009

Antwoord

Andy,
De gegeven oplossing geeft de lengte van de zijden van de balk.Differentiëren van de Lagrange functie en oplossen geeft b²x²=a²y²,c²y²=b²z² en a²z²=c²x².
Invullen in de ellipsoide geeft x=±a/√3, enz.

kn
21-12-2009