WisFaq!

Inverse

Hallo,

Kan iemand mij helpen met het berekenen van de inverse van f(x)=x/(1-x²)?
Ik vervang x door y en dan krijg ik x=y/(1-y²). Hoe kan ik de functie nu schrijven in functie van x?

Mvg
Sander

Sander
14-10-2009

Antwoord

Teken eerst de grafiek van f(x)! Dan ziet u:
Voor x lopend van links naar rechts door (-1,1) op de x-as, loopt y=f(x) van beneden naar boven door (-$\infty$,$\infty$) op de y-as.
Dus u berekent de inverse van de restrictie van f tot (-1,1), en dat is een functie g van (-$\infty$,$\infty$) naar (-1,1).
Voor de berekening van het functievoorschrift van g bent u goed begonnen, en dat is het halve werk.
De andere helft: Druk y in x uit, als volgt:
x·(1-y²)=y
x-x·y²=y
x·y²+y-x=0 (vierkantsvergelijking)
y=(-1±√(1-4·x·(-x)))/(2·x)=(-1±√(1+4x²))/(2x).
Teken in één figuur de grafieken van
y=(-1+√(1+4x²))/(2x) voor x$\in$(-$\infty$,0);
y=0 voor x=0;
y=(-1+√(1+4x²))/(2x) voor x$\in$(0,$\infty$).
Dan ziet u dat u de grafiek van de gezochte inverse krijgt.
Overtuig u daarvan.
Kunt u nu in twee of drie delen het functievoorschrift voor g(x) geven?

hr
14-10-2009