WisFaq!

Homogene oplossing van een onderkritisch gedempt systeem omschrijven

Ls,

Ik zit met het volgende probleem. De oplossing van de differentiaal vgl van een onderkritisch gedempt systeem is in de vorm:
u(t) = A·Sin(wt) + B·Cos(wt).
Ik heb vernomen dat dit uit te schrijven is als:
u(t) = Ö(A²+B²)·Sin(wt+Phi)
Met Phi gewoon een hoekverdraaing.

Ik kom er alleen maar niet achter hoe dit wiskundig gezien te bewijzen is. Ik heb al geprobeert het uit te schrijven mbv.
Sin(wt) = (e^(wti)-e^(-wti))/(2i)
Cos(wt) = (e^(wti)+e^(-wti))/(2)
Maar het lukt me voor alsnog niet.

Ik hoop dat u me kunt helpen.
Bij voorbaat dank voor uw tijd en met vriendelijke groeten,

David

David
22-5-2009

Antwoord

Feitelijk komt het er op neer dat je a·sina+b.cosa graag zou willen schrijven als sina·cosb+cosa·sinb. Dat is handig want die laatste uitdrukking is gelijk aan sin(a+b).

De vraag is dan wat moet je dan voor a en b moet nemen zodat het allemaal een beetje gaat passen...



Dan volgt:



Dus 't is waarschijnlijk eenvoudiger dan je dacht.

WvR
22-5-2009