WisFaq!

Ellips: bewijs

Uit het punt D(x1,y1) trekt men de raaklijnen t1, t2 aan de ellips E - x²/a² + y²/b² = 1

Bewijs dat de richtingscoëfficiënten van t1, t2 de oplossingen zijn van (a²-x1²)m² + 2x1y1m + b² - y1² = 0 (x1 verschillend van + of -a)

Voor welke stand van D geldt dat t1 loodrecht staat op t2?

Ik vermoed dat je dit oplost door vooraleerst met behulp van de discriminant de oplossingen van de tweedegraadsvergelijkingen zoekt en vervolgens gaat trachten dit in verband te brengen met de raaklijnen. De vraag is echter hoe? :)

The Londonist
8-3-2009

Antwoord

Hallo

Als de rechten t1 en t2 loodrecht op elkaar staan, is het product van hun richtingscoëfficiënten gelijk aan -1
Vermits de richtingscoëfficiënten de wortels zijn van de gegeven vierkantsvergelijking, is het product van de wortels gelijk aan -1
Het product van de wortels van een vierkantsvergelijking y = ax²b+x+c is gelijk aan ^c/_a

Dus stel in de gegeven vergelijking :
^c/_a = -1
en je bekomt dat het punt D moet liggen op de cirkel met middelpunt in de oorsprong en straal gelijk aan Ö(a²+b²)

Deze cirkel noemt men de orthoptische cirkel (letterlijk : loodrecht kijkend) of de Monge-cirkel van de ellips.

LL
8-3-2009