WisFaq!

Goniometrische vergelijking

Dag,

ik heb hier een vraag over de volgende vergelijking
2cos²(3x+30)=1

ik heb deze als volgt opgelost:

mbv de tabel cos
0°= 2·(1)²= 2 ¹1
30°= 2·(0.5Ö(3))²= 2· 3/4 = 1.5 ¹1
45°= 2·(0.5Ö(2))²= 2· 1/2 = 1
60°= 2·(0.5)²= 2·1/4 = 1/2 ¹1
90°= 2·(0)²= 0 ¹1

dus bij 45° is het gelijk aan 1
vervolgens
45°+90°=135°
135°+360°=495°

En dan
495= 3x+30
465= 3x

dus x= 465/3= 155°

dit antwoord klopt. maar mijn methode is hetgeen waar ik aan twijfel.
bij die stap 45+90 en 135+360.. hoe weet je nu wanneer je hoeveel graden mag toevoegen? of komt dit alleen toevallig goed uit? Ik wil graag begrijpen waarom het zo is, dat ik in het vorvolg geen fouten meer maak in deze opgaven..

ik heb namelijk nu nog twee andere opgaven en daar kom ik niet uit.

1. 2cos(2x+30°)=1
2. cos(3x+75)=1

als ik hier bovenstaande methode toepas komt t niet uit..
kunnen jullie me hierbij helpen?

heel erg bedankt!

Lien
17-7-2008

Antwoord

Vreemde "oplosmethode" die je hanteert. Ik begrijp ook helemaal niet waar die extra 90 graden vandaan komt. De correcte manier om dit soort vragen aan te pakken is de volgende:

cos²(3x+30) = 1/2
cos(3x+30) = Ö2/2 of cos(3x+30) = -Ö2/2

A) cos(3x+30) = cos(45°) of
B) cos(3x+30) = cos(135°)

Twee hoeken hebben gelijke cosinussen als ze
1) ofwel gelijk zijn aan elkaar (op een veelvoud van 360° na)
2) ofwel tegengesteld zijn aan elkaar (op een veelvoud van 360° na)
Zoiets leer je niet van buiten, je leest het af op de goniometrische cirkel.

Daaruit volgt:

A1)
3x+30° = 45° + k.360° (k geheel)
3x = 15° + k.360°
x = 5° + k.120°

A2)
3x+30° = -45° + k.360° (k geheel)
3x = -75° + k.360°
x = -25° + k.120°

B1)
3x+30° = 135° + k.360° (k geheel)
3x = 105° + k.360°
x = 35° + k.120°

B2)
3x+30° = -135° + k.360° (k geheel)
3x = -165° + k.360°
x = -55° + k.120°

Als je goed kijkt kan je dit allemaal samen herschrijven als
x = 5° + k.30° (geheel)

Probeer het zelf eens voor je andere opgaven.

PS: Een andere piste die je had kunnen nemen was eerst de cos² herschrijven in termen van de cosinus van de dubbele hoek (=cos(2(3x+30°))+1 = 1). Zo bekom je uiteindelijk dezelfde oplossing.

cl
18-7-2008