WisFaq!

Re: Kortste afstand tussen twee parabolen

d=afstand

de d'(a) en de d'(b) lukt mij in willekeurige voorbeelden wel te vinden. Wel zijn dat beide vergelijkingen met twee variabelen. Moet ik dan zowel d'(a) als d'(b) op nul oplossen en dan a in b uitdrukken (eventueel andersom) om dit verder op te lossen.

mvg,
Thomas

Thomas
5-6-2008

Antwoord

Met d²(a,b) = (a-b)²+(f(a)-g(b))² vind je na afleiden en delen door 2 dat voldaan moet zijn aan:

(a-b) + (f(a)-g(b))f'(a) = 0
(b-a) - (f(a)-g(b))g'(b) = 0

Optellen geeft

(f(a)-g(b))(f'(a)-g'(b)) = 0

Twee mogelijkheden dus:

1) Er is minstens een a en een b waarvoor f(a)=g(b). Uit de eerste twee vergelijkingen volgt dan meteen ook dat a=b. Samen leidt dat tot de mogelijkheid dat de krommen elkaar snijden, dus met minimale afstand gelijk aan 0.

2) Er is minstens een a en een b waarvoor f'(a)=g'(b). In het geval van tweedegraadsveeltermen geeft deze voorwaarde een lineair verband tussen a en b dat je kan oplossen naar a (of b) en in een van bovenstaande vergelijkingen stoppen.

Probeer het eens uit!

Opmerking: Het lineaire verband uit 2) geeft aan dat als je een punt op de ene parabool vasthoudt (=a is gegeven), de afstanden tot de punten van de tweede parabool ook steeds een extremum hebben (namelijk voor de waarde van b die volgt uit het verband)

Opmerking 2: Als je de formules hierboven heel goed bekijkt, staat er eigenlijk dat je twee raaklijnen moet vinden die evenwijdig zijn en als je de raakpunten zou verbinden met een lijnstuk, zou dat lijnstuk loodrecht moeten staan op die raaklijnen. Voel je aan dat dan de afstand inderdaad minimaal is?

cl
5-6-2008