WisFaq!

Vierdegraadsfunctie en onderzoeken

gegeven is de functie
F:(x) ® -¹/₁₆x⁴ + 0,5x² + 8 met D=

a) onderzoek en teken de grafiek

ik weet dat ik de nulpunten moet opzoeken en top, maar hoe doe je dat bij een 4egraadsvergelijking.

f'- ¹/₄x³ + x
dus x³ + 4x

snap het niet meer!

nadien
26-5-2008

Antwoord

f(x)=-¹/₁₆x⁴+¹/₂x²+8

Het klopt dat dit een 4e-graads vergelijking is. En ook klopt het dat in het ALGEMEEN het lastig is om van een 4egr vgl de nulpunten/extremen te bepalen. Maar soms is die 4e-graads vgl "vriendelijker" dan je aanvankelijk zou denken. En dat is dus ook hier het geval.

Eerst gaan we op zoek naar de nulpunten.
Stel nou eens dat we x² nu y noemen. Dan staat er:
f(x)=-¹/₁₆y²+¹/₂y+8

Dus we willen oplossen f(x)= 0 ofwel -¹/₁₆y²+¹/₂y+8=0
Þ (links en rechts maal -16 doen)
y²-8y-128=0
Nu de abc-formule toepassen:
Û y_1,2= (8±Ö(576))/2 = (8±24)/2
dus y=32 v y=-8

Met de -8 oplossing kun je niks (want y=x² en y kan dus niet 0 zijn)
dus alleen met y=32 kunnen we wat.
Dit betekent dat x=+Ö32 v x=-Ö32

Nu de extremen.
De afgeleide van f(x):
f'(x)= -¹/₄x³+x
Extremen zijn daar waar f'(x)=0
dus -¹/₄x³+x=0 Û -¹/₄x.(x²-4)=0
(de truc is gewoon om zoveel als mogelijk buiten haakjes te halen)
® x=0 v x=2 v x=-2

De bijbehorende y-waarden kun je nu natuurlijk zelf vinden door gewoon in de oorspronkelijke functie in te vullen.
Zo kom je aan de coördinaten van de extremen.
Maak zelf vooral ook eens een grafiekje

groeten,
martijn

mg
26-5-2008