WisFaq!

Re: P, Q en R zijn beeldpunten van complexe getallen a, b en c

Ik begrijp er nog niets van: a² = (x1+x2.i)² = x1²-x2²+2x1x2.i en zo ook voor b en c. Hoe kom ik dan aan die voorwaarde die er staat?
Moet ik werken met de formule ||P-Q|| = Ö(x1-ix2)²+(y1-iy2)² maar hoe leg ik het verband met de driehoek ... Ik zie het duidelijk nog niet...

Isis
6-5-2008

Antwoord

Ik ben inderdaad iets te snel geweest met m'n tip, zonder de opgave voor mezelf uit te werken.

De basiseigenschap die je moet toepassen is de volgende: als je het complex getal z vermenigvuldigt met exp(i.a) dan bekom je een complex getal w wiens beeldpunt a radialen (in tegenwijzerzin en om de oorsprong) gedraaid ligt tov het beeldpunt van z.

Laat ik dat even toepassen op je eerste opgave:

Als de driehoek rechthoekig moet zijn in R moet het complexe getal a-c 90° (of pi/2 radialen) gedraaid zijn tov het complexe getal b-c, in om het even welke zin. Dus:

(a-c) = (b-c).exp(i.pi/2) of (a-c) = (b-c).exp(-i.pi/2)
(a-c) = (b-c).i of (a-c) = (b-c).(-i)
(a-c)² = (b-c)².(-1)
a²-2ac+c² = -b²+2bc-c²
a²+b²+2c²-2ac-2bc = 0

Die redenering is ook volledig omkeerbaar zodat inderdaad het gestelde geldt.

Probeer dat eens zelf voor de tweede opgave (en ja, deze keer heb ik het zelf ook gedaan ).

cl
18-5-2008