WisFaq!

Het berekenen van enkele waarden

GEGEVEN: C₁= 4√2(1-i) en C₂=1/2(1+√3i), n $\in$ $\mathbf{N}$

voor welke waarden van n is (C₁/C₂)ⁿ

Dries Van Horebeek
11-2-2008

Antwoord

Je opgave is niet volledig, moest er misschien staan '... een reëel getal'?
Hoe dan ook kan je voor het delen, en zeker voor het machtsverheffen, van complexe getallen, best werken met de polaire of goniometrische notatie. Je weet dat je een complex getal a+bi kan schrijven als
r · (cos($\theta$) + i·sin($\theta$)) = r·e^(i$\theta$). Ik werk vanaf nu verder met die laatste notatie.

Doe die omzetting voor C₁ en C₂, voer de deling uit (=deel de r-waarden door elkaar en maak het verschil van de $\theta$-waarden), voer de machtsverheffing uit (= doe de r-waarde van je resultaat tot de n'de macht en vermenigvuldig de $\theta$ die je uitkwam voor C₁/C₂ met n).

Op die manier heb je de uitdrukking (C₁/C₂)ⁿ uit de opgave kunnen uitrekenen in polaire notatie.

Als je inderdaad wou weten wanneer het resultaat reëel is, bedenk dan dat een complex getal van de vorm r·e^(i$\theta$) reëel is als en slechts als de $\theta$ een geheel veelvoud is van $\pi$.

Christophe
11-2-2008