WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op dinsdag 18 juni 2024

Tweede orde elliptische PDE

Hallo wisfaq,

Neem aan dat U samenhangend is.Beschouw het probleem van Neumann

-(Lapliciaan)u=f in U
(pu/pn)=0 op de rand van U

(pu/pn)(p is hier het teken voor partile afgeleide);(pu/pn) is gedefinieerd als het inwendig product van n en Du: de outward normal derivative van u.
En n is de outward unit normal vector n=(n_1,n_2,....,n_k)

Een functie u in H^1(U) is een zwakke oplossing van het probleem van Neumann als

(*) int[Du.Dv]dx=int[f*v]dx,

voor alle v in H^1(U) en f in L^2(U)

Opmerkingen bij (*)
1.Er wordt gentegreerd over U.
2.Met Du.Dv wordt het inwendig product tussen Du en Dv bedoeld.(Ook in het vervolg betekent staat een . voor inw.prod.)

Ik wil graag het volgende bewijzen

Het probleem van Neumann heeft een zwakke oplossing d.e.s.d.a. int[f]dx (over U)=0

Ik heb zelf het volgende

(-) Stel dat het Neumann probleem een zwakke oplossing heeft.Dan geldt dat

(*) int[Du.Dv]dx=int[f*v]dx

Als we nu partieel gaan integreren dat krijgen we
(L(v) staat voor Laplaciaan van v)

-int[L(u).v](over U)+int[(pu/pn).v](over de rand van U)+int[f*v](over U)=0

L(u)=f in U dus int[fv]=int[L(u).v] en dus volgt nu dat

int[(pu/pn).v]=0 en hieruit volgt dat (pu/pn)=0.

Maar hoe moet ik nu verder?

(-) Ik heb begrepen dat ik voor het bewijs van links naar rechts de Ongelijkheid van Poincare moet gebruiken maar ik zie niet waarom.

Groeten,

Viky

viky
29-1-2008

Antwoord

Beste Vicky,

Je wilt dus bewijzen dat als Uu.v dV = Uf*v dV het probleem van Neumann dan een zwakke oplossing heeft.

Uu.v dV = U.((u)*v) dV - U(2u)*v dV = UdS n.((u)*v)dV - U(2u)*v dV = UdS (u/n)*v dV - U(2u)*v dV = Uf*v dV

Hier heb ik de stelling van Gauss of de divergentiestelling toegepast. Er geldt dus dat

U(2u + f)*v dV = U(u/n)*v dV

In het rechterlid integreren we enkel over het randoppervlak. We weten echter dat de normale afgeleide daar nul is. Het rechterlid is dus nul. Er geldt dus dat

U(2u + f)*v dV = 0

Nu is v een willekeurige functie dus moet er gelden dat

2u = -f

Als we nu v = 1 stellen, dan geldt er triviaal dat v = 0.

Als we dit invullen in onze stelling dan krijgen we dat 2u = -f met u/n = 0 op het randoppervlak een zwakke oplossing heeft als

Uu.v dV = Uf*v dV of
0 = Uf dV

Wat exact was wat je vroeg. Hopelijk is het duidelijk.

FvS
1-2-2008


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#54132 - Differentiaalvergelijking - Student hbo