WisFaq!

Parametervoorstelling

Ik wilde graag weten wat een parametervoostelling is en de relatie daarvan met sneheid. Graag in een voorbeeld duidelijk maken.

frans
18-1-2008

Antwoord

Waarschijnlijk ben je bekend met de gewone functies, waarbij je de functie y=f(x) afbeeldt in een xy-assenstelsel. Bij een parametervoorstelling is de y-waarde niet afhankelijk van x, maar zijn zowel x als y functies van een derde coördinaat, meestal de tijd. Je krijgt dus

x=f(t)
y=g(t)

Het punt (x,y) beweegt nu als een functie van de tijd door het xy-vlak. Het spoor dat dit punt zo achterlaat, wordt een parameterkromme genoemd. De uitdrukkingen f(t) en g(t) zijn dan de parametervoorstelling.

Een elementair voorbeeld is de parametervoorstelling van een cirkel, die gegeven wordt door:

x=cos(t)
y=sin(t)
0$<$t$<$2$\pi$

Een paar vragen die je voor jezelf kunt beantwoorden:

• Wat is de straal van de cirkel?
• Waar 'begint' de parameterkromme?
• Draait hij linksom of rechtsom om de oorsprong?

Het verschil met de functie y=f(x), is dat er bij elke x-waarde meerdere y-waarden kunnen voorkomen. Maar ook bij de parametervoorstelling is er sprake van een domein, in dit geval een tijdsdomein.

Wat is nu de snelheid van dit punt? Waarschijnlijk weet je dat je de snelheid verkrijgt door te differentiëren. Zo krijg je de snelheid in de x-richting, x'(t), en in de y-richting, y'(t). Omdat deze loodrecht op elkaar staan, verkrijg je de totaal snelheid middels de stelling van Pythagoras.

v(t)=√(x'(t)²+y'(t)²)

Deze snelheid zal over het algemeen een functie van de tijd zijn. Ga na dat de snelheid in ons voorbeeld van de cirkel constant is.

Bernhard
19-1-2008