WisFaq!

Voorbeelden van Cauchyrijen

Beste wisfaq
Een oefening in mijn cursus gaat als volgt:
Geef een voorbeeld of bewijs dat dergerlijke rij niet bestaat:
a) een divergente cauchyrij in
b) een divergente cauchyrij in
c) een divergente cauchyrij in
d) een onbegrensde cauchyrij in

Zelf heb ik al gezocht naar de andwoorden maar ik ben ver van zeker van hun juistheid.

a) 3 3,1 3,14 3,141 3,1415 .....
b) 80 40 20 10 5
c) 10 10/2 10/4 10/8 ....
d) hier heb ik nog geen andwoord op gevonden.

Alvast bedankt voor je aandacht.
Bart

Bart Herpoelaert
3-1-2008

Antwoord

Dag Bart,

a) is de moeilijkste oefening... Een Cauchyrij in convergeert altijd (dus je kan geen divergent voorbeeld vinden). Een klassieke manier om dit te bewijzen gaat in drie stappen: beschouw een Cauchyrij a_n, dan
1. toon aan dat deze a_n begrensd is (zie oef.d)
2. gebruik het feit dat een begrensde rij in altijd een convergente deelrij heeft, noteer die rij met b_n en noem de limiet L. Als je deze eigenschap niet gezien hebt, zou je die nog apart moeten bewijzen...
3. toon aan dat ook de rij a_n naar L convergeert, gebruik makend van het feit dat a_n een Cauchyrij is, en van de e-definitie van convergentie.

b) de definitie van Cauchyrij zegt dat voor elke e er een N moet bestaan, zodat |a_n-a_m|e voor alle m en n groter dan N. Kies in deze definitie e=1/2. Dan zou er dus een N moeten bestaan, zodanig dat het verschil tussen twee willekeurige rijtermen met index N, steeds kleiner is dan 1/2. Maar je werkt in , dus als het verschil kleiner is dan 1/2, is het nul! Dus vanaf die bepaalde index N zijn alle termen gelijk. Een Cauchyrij in heeft bijgevolg altijd een constante 'staart', en is dus duidelijk convergent.

c) als je met 'divergent in ' bedoelt dat je te maken hebt met een rij met elementen in , maar waarvan de limiet ofwel niet bestaat, ofwel wel bestaat maar niet in ligt, dan is de rij die je gaf als antwoord in a), een goed voorbeeld. Deze convergeert immers naar p, wat geen rationaal getal is, dus de rij is divergent. Bovendien is het niet moeilijk aan te tonen dat de rij een Cauchyrij is want voor elke e kunnen we een N vinden. Bijvoorbeeld als e=10^-5 dan kiezen we N=6 en inderdaad, vanaf de zesde rijterm is het verschil tussen twee willekeurige rijtermen kleiner dan 10^-5.

d) Stel a_n is een Cauchyrij. Gebruik de definitie hiervan, met bijvoorbeeld e=1, dat geeft je een N. Elke rijterm met index groter dan N ligt dan op afstand maximum 1 van a_N, hieruit haal je meteen de begrensdheid van de rij.

Nog problemen daarbij, dan reageer je maar... Tot zover mijn anTwoord ;-)

Groeten,
Christophe.

Christophe
3-1-2008