WisFaq!

Afgeleide van stapfunctie

Wat is de afgeleide van de stapfunctie(-t)? Is er een site waar je dit soort dingen kan vinden over en kan controleren, want de site die op wisfaq staat weet ik nie of dat daar ook mogelijk is om stapfuncties en Rect en deltafuncties etc. te differentiëren?

Piet
2-1-2008

Antwoord

Beste Piet,

Da's een subtiele. De (Heavyside) stapfunctie is $\theta$(x) = 0 voor x$\leq$0 en 1 voor x$>$0.

Voor x$<$0 is het gewoon een constante functie. Dan is de afgeleide dus 0. Voor x$>$0 idem. Het probleem is x=0. De functie gaat daar met een sprong omhoog. Dan bestaat de afgeleide niet. Er is dus geen afgeleide in x=0. De functie is daar niet differentieerbaar.
Iets precieser: De afgeleide in x=0 is: lim_h$\to$0 ($\theta$(h)-$\theta$(0))/h. Voor h$<$0 komt daar 0 uit, maar voor h$>$0 gaat de limiet naar oneindig. De limiet convergeert dus niet.

Toch wordt de afgeleide $\theta$'(x) van de stapfunctie wel gebruikt. Hij is dan gelijk aan de (Dirac) deltafunctie ($\delta$(x)). Officieel is dit geen functie (dat kan ook niet) maar een distributie. De enige eigenschap die je gebruikt is dat $\int{}$ f(x)$\delta$(x)dx = f(0) voor elke functie f. Toch is dat genoeg om andere eigenschappen te vinden zoals de afgeleide van de deltafunctie (door partieel differentieren).

De deltafunctie is dus geen functie. Toch wordt hij veel gebruikt omdat je de waarde van een functie bij precies één punt uitkiest (hierboven de waarde van f(x) bij x=0). Je kunt dus ook geen grafiek van de deltafunctie tekenen. Wil je je er toch een voorstelling maken van de deltafunctie. Vervang dan de stapfunctie door een functie die heel snel van 0 naar 1 rond x=0. De afgeleide is dan een piek rond x=0 die heel smal is en ook heel hoog. De oppervlakte onder de grafiek is namelijk 1. Stel je de piek oneindig smal voor. Dan heb je de deltafunctie.



Zie ook: http://nl.wikipedia.org/wiki/Diracdelta

os
2-1-2008