WisFaq!

Re: Een onbegrensde functie in een Sobolev ruimte

Hoi Oscar,

Het laatste deel is inderdaad op jouw manier veel eenvoudiger.Maar er moet toch staan
int (1/log((1+1/r))^2 * (1/r*(1+r))^2 dr
en niet
int r * (1/log((1+1/r))^2 * (1/(1+r))^2 dr ?

Ik wil ook heel graag die andere redenering ook begrijpen.Ik begrijp dat

(5) int[h(u)*k(u)]du , u loopt van u=1 tot oneindig

met h(u)=1/[u+1/u] en k(u)=1/[log((1+u)^2)]

wordt begrensd door

(6) int[1/[u*(log(u))^2]]du, u=1....oneindig

en dat

(7) 1/[u*(log(u))^2]]=(d/dt)[-1/log(u)]

maar als ik [-1/log(u)] bereken voor u=1 naar oneindig, dan krijg ik het volgende:

Ik bereken [-1/log(u)] voor t=1 en t=0, en dan neem ik de limiet voor t naar oneindig, maar dan komt er oneidig uit mijn integraal.

Groetjes,

Viky

viky
22-11-2007

Antwoord

Dag Vicky,

Om te beginnen zie ik dat ik inderdaad een fout heb gemaakt:
(p/px)(u) = (p/px) log(log(1+1/|x|))
=( 1/log(1+1/|x|) ) * ( 1/(1+1/|x|) ) * ( 1/|x|^2 ) * ( x / |x| )
=( 1/log(1+1/|x|) ) * ( 1/|x|(1+|x|) ) * ( x / |x| )
Ik krijg dus een inderdaad een factor r^2 minder in mijn integraal. Dan convergeert hij niet meer. Dat is lastig.

Maar jouw aanpak aan het einde is ook niet correct: Je begrenst k(u)=1/[log((1+u)^2) met 1/log(u)^2. Dat is niet verstandig want voor u naar 1 gaat het dit naar oneindig terwijl k zelf gewoon eindig blijft. Het resultaat dat je krijgt is gewoon integreerbaar int(1/(u*log(u)^2))du = [-1/log(u)]=-1/log(oneindig)+1/log(1)=-0+1/0=oneindig. Je integraal bestaat dus wel maar is niet begrensd.

Ik denk dat een combinatie nodig is. Jouw aanpakt werkt voor r in de buurt van 0, en die van mij in de buurt van r=1. Dus hak je de integraal in twee stukken. De integraal voor r van 1/2 tot 1 is begrensd met mijn (simpele) aanpak. Voor r van 0 tot 1/2 is jouw subtielere aanpak nodig. Je krijgt dan u van 2 tot oneindig en dan is je uiteindelijke integraal -1/log(oneindig)+1/log(2)=1/log(2) en dus wel begrensd.

Groet. Oscar.

PS: maar ik zie nog steeds niet hoe jij komt op:
int (1/log((1+1/r))^2 * (1/r*(1+r))^2 dr
Wat doe je met die laatste factor (x/|x|) uit (p/px)?. En/of: wat bedoel je nu precies met |x| en hoe komt dat in de integraal terecht?

os
22-11-2007