WisFaq!

Moeilijke meetkunde vraag!!

Sorry, de vraag wordt in mijn boek in het engels gesteld:

Show that every case the extrinsic curvature of any geodesic on a cylinder is pointing in a direction that is normal to the surface. Ik ben aardig op weg, maar hoe maak ik het af?

• Suppose the curvature ã is a circle with radius r on the cylinder surface:

ã (t) = ( r cos (t), r sin (t) , t ), Then:

ã (t) = P (( u(t) , v(t)), So u(t) = r cos t and v(t) = r sin t.
ã ‘(t) = (-r sin t , r cos t , 1 )
ã “(t) = (-r cos t , -r sin t , 0)

Knowing that:
dp/du = (-sin(u), cos(u) , 0 )
dp/dv = ( 0 , 0 , 1 )

ã “(t) • dp/du = deze uitkomst moet nul zijn. Maar dat lukt maar niet......

Ben benieuwd naar het antwoord. Alvast bedankt!!!!!

Maarten Barend
1-10-2007

Antwoord

Beste Maarten,

De parameter voorstelling van het cylinderoppervlak heeft parameters u en v. Daarin is u de hoek en v de hoogte.
Een punt op de cylinder in "gewone" coordinaten is dan: (rcos(u), r(sin(u),v).
Een cirkel op hoogte S₀ heeft coordinaten: (rcos(t),rsin(t),S₀).
Als u=t en r=1 dan voldoet je cirkle aan de parametrisering van het cylinderoppervlak.
Nu is ã"(t)×dp/du=-cos(t)×(-sin(t))+(-sin(t)×cos(t)+0×0=0
Het product met dp/dv is uiteraard ook 0, zodat de "extrensic curvature" inderdaad loodrecht staat op het oppervalk.
Daarmee toon je dus aan dat die cirkel een geodesic is.
Zie:
http://math.etsu.edu/MultiCalc/Chap3/Chap3-8/part1.htm

Was dat je bedoeling?

ldr
1-10-2007