WisFaq!

Vergelijking met absolute waarden

Hoi ik heb een vraagje waar ik niet zoveel van snap.

Bepaal alle reële oplossingen x van |2x-3|+|x-3|=|4x-1|.

Ik heb zo gedacht:

We weten dat: |a|=√a²

dus √(2x-3)² +√(x-3)² = √(4x-1)².

Maar is dit wel juist?

Kevin
29-9-2007

Antwoord

De substitutie die je opgeeft wordt bijna uitsluitend in de andere richting gebruikt, dus dat helpt je dan ook niet veel verder.

Een uitdrukking die tussen absolute-waarde-strepen staat is ofwel gelijk aan de uitdrukking zelf (als ze positief is) ofwel aan haar tegengestelde (als ze negatief is).

Maak in 1 tabel het tekenverloop van 2x-3, x-3 en 4x-1. Je zal zien dat de reele as (de waarden voor x) zo uiteenvallen in 4 gebieden. In elk van die gebieden zal je de oorspronkelijke vergelijking kunnen veranderen in een vergelijking zonder absolute-waarde-strepen.

Zo zal bijvoorbeeld in het gebied ]1/4,3/2]
2x-3 $\leq$ 0 $\Rightarrow$ |2x-3| = -2x+3
x-3 $<$ 0 $\Rightarrow$ |x-3| = 3-x
4x-1 $>$ 0 $\Rightarrow$ 4x-1 = 4x-1

In dat gebied wordt de vergelijking wordt dus:

-2x+3 + 3-x = 4x-1
-7x = -7
x=1

Nu moet je wel nog controleren of x=1 inderdaad in dat gebied ligt, anders zijn onze wegwerkingen van de absolute-waarde-strepen niet geldig geweest. Dat is hier inderdaad het geval, 1 ligt in ]1/4,3/2] en is dus een oplossing van de oorspronkelijke vergelijking.

Herhaal dit nu ook voor de andere gebieden die je uit je tekenverloop haalt.

cl
30-9-2007