WisFaq!

Inverse bepalen in een lichaam van 27 elementen

Gegeven het lichaam Z3modulo X³+2X+1
Ofwel: {a + bM + cM² | a,b,c ÎZ3}
Dit is dus een lichaam met 27 elementen.
De vereenvoudigingsregel is M³+2M+1=0 Û M³=M+2

Gevraagd de inverse van X²
Dan moet dus gelden:
M²(pM+q) = 1 Û pM³+qM²=1
en dit gecombineerd met de vereenvoudigingsregel geeft:
qM²+pM+2p=1
wat dan neerkomt op het stelsel
p=0
q=o
2p=1

En hier loop ik vast. Ik kan geen p en q vinden.
Ook heb ik alle 27 elementen van dit lichaam uitgeschreven, en gezocht naar de inverse van X².
Die inverse moet toch in ieder geval van de eerste graad zijn?
Maar ik kan niet op X² · kandidaatinverse = 1 uitkomen.
Ben benieuwd naar een gouden hint!

Groeten,
Gerrit.

Gerrit
24-9-2007

Antwoord

Mogelijkheid 1.
Bepaal de grootste gemene deler van X² en X³+2X+1; als het goed is is die 1.
Gebruik hiervoor het algoritme van Euclides voor polynomen (mod 3), je vind dan twee polynomen p en q zo dat p(X)·X²+q(X)·(X³+2X+1)=1; dan is p(X) de inverse van X².
Mogelijkheid 2.
Verbeter je aanpak en zoek een inverse van de vorm aX²+bX+c.

kphart
25-9-2007