WisFaq!

Goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden

Dag
ik heb een vakantietaak gekregen voor wiskunde en de leraar heeft mij zoveel oefeningen gegeven waarvan een paar ik echt niet kan oplossen, ik hoop dat jullie mij misschien een beetje kunnen helpen

dankuwel

1) vereenvoudig (cos alfa - cos 3 alfa)/(sin 3 alfa - sin alfa) =

2) vereenvoudig (sin (90° - alfa) x cos (360° + alfa) x cot (90°- alfa))/(tan (720°- alfa) x cot (alfa + 180°) x cos (- alfa))=

3) bepaal de periode van : 2sin(2x/3 - p)+cot(7x/2 + p/2 )

4) bereken: sin (Bg cos ³Ö2 + Bg tg 12/5)

Siuenh
1-9-2007

Antwoord

Beste Siuenh,

Jouw opgaven zijn allemaal toepassingen van goniometrische formules.
Deze zal je wel hebben, maar staan ook onder het kopje Goniometrie op onderstaande link.

http://www.eindexamen.nl/9303104/d/k_vwo2.pdf

Wel verwarrend is dat in jouw opgaven soms gerekend wordt in graden en soms in radialen.
Als er graden (^o) in voorkomen moet je in graden werken, anders in radialen.
Let op de verschillende soorten som-formules:
sin(a+b) en sin(a)+sin(b). Die heb je allebei nodig.
Verder is het handig om te weten:
cos(a)=cos(-a) , maar sin(a)=-sin(-a).

Bij opgave 1 gebruik je:
cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
en sin(b)-sin(a)=2cos((b+a)/2)sin((b-a)/2),
waarbij a=a en b=3a...
Dan krijg je: 2sin(2a)/2cos(2a)=tan(2a).

Voor opgave 2 gebruik je :
sin(90^o-a)=cosa en cos(90^o-a)=sina.
Verder: cota=1/tana=cosa/sina.
Op de formule kaart werken ze altijd in radialen, dus daar staat o.a.
sin(¹/₂p-a)=cosa.
Bedenk verder dat de periode van sin en cos 360^o is en die van tan en cot 180^o.
Dat alles toegepast moet je er zelf wel uitkomen.

Opgave 3: Onder het kopje Verbanden op bovenstaande formulekaart zie je iets staan over de periode van een sinus- of cosinus functie.
Je kan ook gebruiken: sin(a)=sin(b) ®a=b+k2p.
Het linker deel van je opgave geeft dan:
2x/3=...+k2p, dus x=....+k3p.
Die periode is dan 3p.
Voor het rechter deel: cot(7x/2)=...+kp, dus x=...+(2/7)kp,
gevolg, die periode=(2/7)p.
Deze twee antwoorden hebben slechts een factor p met elkaar gemeen.
Samen hebben ze dan een periode van 6p, want het kleinste gemene veelvoud van 2/7 en 3 is 6.
(Bekijk de rijtjes 2/7, 4/7, 6/7, ....14/7,....42/7,.. en 3,6,9,.....
42/7=6 is het kleinste getal dat in beide rijtjes staat. )

Met je vierde opgave is een probleem, want de derde machts wortel 2 is groter dan 1, zodat de arccos(³Ö2) niet bestaat.
Kijk nog eens goed of de opgave klopt!.

ldr
6-9-2007