WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op maandag 17 juni 2024

Volledige inductie

32n+1+ 2n-1 is deelbaar door 7

Peter
6-11-2002

Antwoord

Hoi,

Voor n=0 geldt de stelling niet.

De basisstap:
Voor n=1 geldt ze wel: 33+20=27+1=28 en 7|28.

De inductiestap:
Als de stelling geldt voor k=1,2,..,n-1 dan geldt ze ook voor n.

32n+1+2n-1=
32(n-1)+1+2+2(n-1)-1+1=
32.32(n-1)+1+21.2(n-1)-1=
9.32(n-1)+1+2.2(n-1)-1=

Nu weten we dat 7|32(n-1)+1+2(n-1)-1 (veronderstelling van inductiestap) en dus ook: 7|2.32(n-1)+1+2.2(n-1)-1

Uiteraard is 7|7.32(n-1)+1

Zodat na samentellen: 7|(2+7).32(n-1)+1+2.2(n-1)-1. Hiermee is de inductiestap en de stelling bewezen.

Groetjes,
Johan

PS:
Je kan het natuurlijk ook rechtstreeks bewijzen:
32n+1+2n-1 (mod 7) = 3.9n+2n-1 (mod 7) = 3.2.2n-1+2n-1 (mod 7) = 7.2n-1 (mod 7)= 0

andros
6-11-2002


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#5180 - Bewijzen - Leerling mbo