WisFaq!

Re: Re: Volledige maclaurinreeks sin(x) in het kwadraat

dan kom je de reeks uit å^-1/₂*(-1)^(n+1)*(1-^{2n^(2n)}/_(2n)!) wat denk ik correct is want wat ik nu ontdekt heb is dat mijn eerste reeks die ik gevonden heb namelijk å((-1)^n*x^(2n+2)*2^(2n+1))/(2n+2)! dan ook correct zou moeten zijn. Want als ik beide reeksen in mijn rekenmachine(TI-89 Titanium) invoeg en op de diamond knop (= groene knop)druk en dan pas op enter druk krijg ik een volledig verkeerd resultaat ( een decimaal getal), maar als ik gewoon op enter druk krijg ik een breuk en als ik die breuk dan naar een decimaal getal omzet klopt het wel. zeer vreemd vind ik dit wel aangezien die diamond knop volgens mij toch niets aan je resultaat mag veranderen. Natuurlijk zit ik nu met de vraag of mijn formules dan juist zijn maar ik neem aan van wel aangezien het zowel met mijn eigen formule en jullie voorstel zo is.

Jeroen Hap
5-8-2007

Antwoord

Bij geen van beide reeksen zie ik meteen heel duidelijk van waar je ze haalt. Bij de eerste staat nergens een x en staat ook *overal* "1-" terwijl die duidelijk alleen in de constante term (=de coefficient van x^0) thuishoort. Bij de tweede reeks zie ik veel gepruts met 2n+1 en 2n+2, wat niet noodzakelijk fout hoeft te zijn, maar zonder vermelding van de startwaarde voor n wordt het moeilijk controleren. Ik zal zelf het antwoord dan maar geven. Alle sommaties behalve de laatste lopen over n, van 0 tot +oneindig.

cos(x) = SOM x^(2n) (-1)^n / (2n)!

cos(2x)
= SOM (2x)^(2n) (-1)^n / (2n)!
= SOM x^(2n) (-4)^n / (2n)!

(1/2)(1 - cos(2x))
= SOM a(n) x^(2n)

met

a(n) = (-1/2) (-4)^n / (2n)! (n0)
a(0) = 1/2 - 1/2 = 0

Samengevat

sin²(x) = SOM' x^(2n) (-1/2) (-4)^n / (2n)!

met SOM' over n, van 1 tot +oneindig. Je kan een index-verschuiving toepassen als je dat echt zou willen, maar daar zie ik geen reden toe.

cl
5-8-2007